Probability concepts explained: Rules of probability (introduction part 2)
다른 글에서 몇몇 기본적인 확률 개념(주변-marginal, 조건부-conditional, 결합-joint, 독립-independent, 상호 배타성 - mutual exclusivity, 조합-combining 확률을 위한 and와 or)을 다루었다. 그러나, 당연하다고 여기며 독자가 안다고 가정했던 몇가지 다른 기본적인 규칙을 빼먹었다.
따라서 이 글에서는 확률이론에서 좀 더 핵심 규칙을 다룬다.
확률 규칙(공리) - Rules of probability (Axioms)
수학자들이 새로운 분야를 탐험할 때 그들은 종종 무엇을 할 수 있는지를 정의한 규칙 셋으로 시작한다. 이것은 축구 경기를 처음 발명하고 '팀을 위한 경기장에 오직 11명이 있다. 손으로 공을 건들일 수 없다. 오프사이드 규칙 등.'을 말하는 규칙을 설정하는 것과 조금 비슷하다. 이러한 규칙이 설정된 후 선수와 매니져는 자유롭게 탐색하고 새로운 공 기술과 멋진 팀 구성으로 그들이 원하는 만큼 창의적이다.
확률 이론(그리고 일반적인 수학)도 다르지 않다. 우리는 이 규칙을 공리(axiom)이라고 부른다. 규칙이 설정된 후 수학자들은 새로운 정리(theorem)과 결과를 탐색한다. 공리를 고수하는 한 원하는 것을 할 수 있다.
확률 공리를 알아보자.
공리 1
첫번째 규칙은 이벤트의 확률은 0보다 크거나 같다.를 설명한다. 사실, 더 나아가서 이벤트의 확률이 0과 1사이라고 할 수 있다.(포괄적으로)
이를 수학적으로 나타내 보자. 이벤트의 확률이 (포괄적으로) 0과 1사이라면 다음과 같이 표현한다.
"이벤트"는 "무엇인가 발생한다"는 것을 의미한다. 예를 들면, 내일 날씨에 대해 이야기 할 수 있고 이벤트는 내일 비가오는 결과일 수 있다. 따라서 내일 비가오는 이벤트의 확률은 0.5가 될 수 있다. 수학적으로는 다음과 같이 표시한다.
결과를 이벤트로 그룹지을 수 있고 이벤트는 내일 비 또는 눈이 오는 결과라고 할 수 있다. 이런 방법으로 이벤트는 사실 결과의 모음(collection)이다.
공리 2
이번 규칙은 가능한 결과중 적어도 하나가 발생하는 확률은 1이다.를 설명한다. 더 나아기서 모든 가능한 결과의 확률을 모두 더하면 1의 확률을 갖는다. 이에 대한 몇가지 주의사항이 있지만 우리가 만날 대부분의 경우는 후자에 속한다.
예제로 균등한 6면 주사위를 굴린다고 하자. 주사위를 굴리면 6개의 결과중 하나가 가능하다. 주사위는 1, 2, 3, 4, 5, 6중 하나가 나올 것이다. 따라서 이들 결과중 적어도 하나가 나오는 확률은 1이다. 확률이 1이라는 것은 '확실하다'는 의미이다.
다시 후자(가능한 결과의 확률을 더하면 1이다.)에 속한다. 6개중 1개인 확률이 있고 이 중 어떤 한면이 나오는 확률은 1/6이다. 따라서 1, 2, 3, 4, 5, 6이 나오는 확률을 모두 더하면 아래처럼 1이 된다.
$P(주사위=1) + P(주사위=2) + P(주사위=3) + P(주사위=4) + P(주사위=5) + P(주사위=6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1$
합으로 모든 것을 작성하는 것은 꽤 지루하다. 특히 몇백개의 출력이 있으면 수학적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
$\sum$ 기호는 모두 더하라는 의미이고 기호의 위, 아래는 시작과 끝을 나타낸다. 따라서 위의 식은 "i=1에서 시작해서 i=6까지 간다."는 의미이다.
그러면 이제 "모든 가능한 출력의 개별적인 확률을 모두 더하는 것은 1과 같다."는 문장을 수학적으로 아래와 같이 표시할 수 있다.
"모든 가능한 결과" 대신 특별한 용어가 있다. - 모든 가능한 결과를 샘플영역(sample space)라고 부른다. 따라서 6면 주사위에 대한 결과 1, 2, 3, 4, 5, 6는 사실 샘플영역이다. 수학적으로 샘플영역은 $\Omega$로 표시되므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.
공리 3
이 공리는 아마 가장 헤깔리지만 상호 배타성($P(A \cap B) = 0$)에 관한 글에서 이미 다루었다. 여기서는 공리를 설명하고 예제를 살펴본다.
이 공리는 두 이벤트가 상호간에 배타적(즉, 두 이벤트는 동시에 함께 발생할 수 없다.)이면 그중 하나가 발생하는 확률은 이벤트가 각각 발생하는 확률의 합과 같다.는 것을 나타낸다. 예제로 확실하게 해보자.
균일한 6면 주사위를 굴려 5 또는 6이 나올는 확률을 구한다고 해 보자. 이 이벤트는 상호 배타적(mutually exclusive)이다. 왜냐하면, 5와 6이 동시에 나올 수 없기 때문이다. 따라서 5 또는 6이 나올 확률은 5가 나올 확률과 6이 나올 확률을 더한 것으로 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3이다.
수학적으로 이 공리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
위의 결과 1과 결과 2는 상호 배타적이다.(동시에 발생할 수 없다.)